Levitated\\: OPEN.SOURCE

На этом сайте можно провести много времени. Очень много.

Потрясающая подборка интерактивных флеш-анимаций имитирующих реальные процессы, математические явления, воссоздающие простые и сложные сети отношений, визуализирующие формы представления данных, ну и так далее.

Для каждой анимации-проекта имеется описание и исходный код. Сделано всё очень красиво и качественно; одним словом — захватывает.

К примеру, фракталы из эмоций:

Май 30, 2007. математика, программирование, flash, сайты, open source. 5 комментариев.

Формула Эйлера

Формула �йлера

Вот это нам сегодня преподнесли как «доказательство» существования Бога. Идея заключается в том, что нечто столь простое и одновременно потрясающим образом связывающее 5 «китов» математики — числа 0, 1, π, e, i — просто не может быть случайностью и наверняка было создано чем-то(кем-то) свыше.

В общем, философия. Нужно будет обязательно пару курсов взять подобных. Ну а вот один из способов вывода формулы Эйлера (мы в классе выводили её при помощи Ряда Тейлора, но этот мне кажется более простым и элегантным):

f'(x)\, = \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \
  = \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \
  = \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \
  = \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \
  = \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \
  = 0 \
f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1
\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1
\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}

Подставляем x = \pi,\,\! в e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\! Так как \cos \pi = -1  \, \! , \sin \pi = 0,\,\! e^{i \pi} = -1,\,\! получаем:

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Март 28, 2007. математика. 8 комментариев.